Previous Entry Share
Квантовая механика - заметки туриста
muha_a

К физике я никакого отношения не имею и пропустил даже скудную программу инженерного вуза, но при этом, всегда хотел разобраться что же конкретно утверждает квантовая механика. Однако, учитывая принятую при освоении КМ практику "заткнись и считай", сделать это без нормальной математической подготовки, контрольных работ, зачетов, оценок и преподавателей оказалось сложновато.

Я начинал пару раз читать лекции Фейнмана и учебник Садберри. Но соображения Фейнмана оказывались хоть и просты, но крайне утомительны и растянуты, к середине тома 8 просто устаешь ждать чему же тебя собираются учить. Обычные же учебники с места в карьер переходили к сложной математике, которая меня не особо мотивировала, и слишком быстро проскакивали "очевидные" вещи, которые собственно, меня и интересовали.


И вот однажды, лед таки тронулся. С годами любопытствований, у меня все же созрело некое представление о том, что нужно ждать от квантовой механики. И тут мне в руки попался "Теоретический минимум" по квантовой механике Сасскинда.

Об этой книге отдельно. "Теоретический минимум" - это громко сказано. Сведения там даются только самые базовые. Но это уже настоящая честная физика с основами математического аппарата, а не популярные рассуждения для домохозяек, которыми грешат многие популяризаторы науки.

Но у книги есть главное преимущество: в отличии от обычных учебников, Сасскинд не ленится разжевывать каждую идею еще и еще раз, пока не доводит ее до состояния, когда ее можно понять вообще без всякой подготовки.

Местами и он срезал пару углов, но в остальном, книга написана с поразительным терпением и заботой о ленивых и любопытных невеждах.

После Сасскинда том 8 лекций Фейнмана пошел уже не в пример веселее. Я наконец понял, что пытается объяснить Фейнман. Собственно, теперь не так сложно перейти и к настоящим учебникам.


Дальше попытаюсь раз за разом изложить свои впечатления от этого "интеллектуального туризма" в квантовую механику.


Первый и очень важный вопрос, который мне пришлось для себя решить: что именно нужно представлять себе, при изучении всех этих математических ухищрений?

Например, классическая механика предлагает представлять материальные точки, действующие на них силы, скорости и траектории этих точек. В квантовой механике такой простой и наглядной картины нет. Более того, даже те представления, которые есть ни один физик не желает обсуждать не обложившись довольно сложной математикой.


Примерно к середине книги Сасскинда, кое-какой образ мне удалось нарисовать. Я уверен, что это образ не противоречит квантовой механике, но если что, готов признать, что он имеет ряд спорных моментов.


Итак, первое. Забываем все, что мы знаем о “реальном” мире. Мир квантовой механики реален, но не совсем в том смысле, как ожидается.

Реальность мира означает, что если мы приготовили систему в некотором состоянии, то через какое то время мы можем подвергнуть эту систему неким экспериментам и из их результата узнать о начальных условиях приготовления системы. Т.е. переданная системе информация сохраняется и может быть извлечена обратно. В промежутке между приготовлением и измерением все представления о реальности системы бессмысленны. Система хочет только одного: вернуть вам информацию и она не остановится ни перед нарушением локальности, ни перед разрушением ваших интуитивных представлений о том, как должна вести себя “реальная” система.


Тут возникает традиционный философский вопрос: что значит измерение? Это когда я вижу стрелку прибора? Нет. Все это можно представить гораздо прозаичнее. Условно говоря, природа меряет себя сама.

Представьте себе этакую кипящую кашу из событий, очень тесно и непрерывно друг с другом связанных. Представьте, что от этой каши оторвалась небольшая подсистема, на какое то время осталась изолированной и потом снова вернулась в кашу. Эта ситуация - и есть то, что изучает квантовая механика (точнее, изученная мной вводная ее часть).

Какое-то время система была в свободном полете и тут она описывалась квантовой механикой. Как только она попала обратно в кашу, система “измерена”, квантовая механика дает ответ о результатах измерения и квантовое рассмотрение пока закрываем. С другой стороны, сама эта каша представляет собой последовательность множества квантовых событий.


Давайте это нарисуем:



Некая система готовится при определенных условия. Дальше, система какое-то время существует изолированно от мира, дальше система измеряется в эксперименте.


Как я уже сказал, система (красный кружок) при этом не решает никаких других задач, кроме той, что ей нужно передать информацию, которую она получила при приготовлении в приемник, в виде результатов эксперимента.


Потому, что информацию должна сохраняться. Потому, что иначе наше существование в этом мире было бы невозможно.


Система не обязана оставаться пространственно локализованной. Например, она может вылететь из источника, разделиться на части, которые разлетятся на километры и затем, каждая часть попадет в свой “приемник” (какая-то раньше, какая-то позже).

Так вот, и в этом случае, систему не заботит ничего, кроме необходимости сохранить и вернуть информацию. Если при этом расчеты покажут, что части системы для этого должны общаться мгновенно с нарушением принципов локальности - это ничего не значит для системы. Во время изоляции от окружающего мира система попросту реально не существует и принципы реальности ей не писаны. Она только хочет вернуть информацию.

Это своего рода “Матрица”.


На первый взгляд, пространная задача передачи информации могла бы решаться неким сложнейшим, совершенно не формализуемым путем. Попробуйте ка опишите уравнениями Матрицу, которая ”has you”, или обратимый клеточный автомат, также сохраняющий информацию! Но физикам крупно повезло. Квантовая механика, хотя и сложна, на самом включает поразительно простые принципы, на удивление просто увязываемые с классической действительностью. Сложно понять что стоит за этими принципами. Как я понимаю, пока это никому даже близко не удалось.


Замечу, что образ с системой, которая “хочет” передать информацию - чисто мой. Не относитесь к нему как к части науки. Это просто ИМХО полезный образ. Правда, его обрывки можно собрать у Сасскинда.


Итак, каковы же детали процесса, изображенного на рисунке с точки зрения квантовой механики.


Первое и очень неудобное уточнение: источник не создает систему с нуля. Он только придает некое состояние уже существующей системе. Соответственно, приемник не исследует систему полностью. Он считывает с нее только записанные источником параметры.

Например, мы можем придать электрону спин, а затем измерить его. При этом, сам электрон существует как некий “бэкграунд”, который мы выносим за рамки рассмотрения.

Что можно выносить, а что нельзя? Это либо интуиция, либо магия, либо просто за рамками теоретического минимума. Не знаю.


Второе уточнение, сильно все упрощающее: когда система измеряется в приемнике, вся вложенная в нее источником информацию полностью уничтожается. Уничтожается в том смысле, что вся считываемая приемником информация переходит к нему и в системе этой информации больше нет. Это как перенос файла с диска на диск (в отличии от копирования).


Дальше интереснее.

Когда источник готовит систему, мы можем описать этот процесс некоторым количеством обычных (вещественных) чисел. Например, N числами. Например, приготовление спина электрона можно описать двумя числами: угол к оси z и угол к оси x в проекции на плоскость x-y.

Физики любят описывать все в числах. Я полагал, что природу это не должно волновать. Но как оказалось, она вполне даже идет физикам на встречу.


Дальше, самое интересное: дискретность результатов. Если система достаточно мала, то приемник всегда выберет один из конечного числа возможных результатов эксперимента.

Например, для спина 1/2, который создается двумя числами, эксперимент всегда дает один из двух возможных исходов (отклонился вверх, отклонился вниз).


На самом деле, физики рассматривают и бесконечное число исходов (для пространственных координат). Но мы ведь не знаем: вдруг пространство в масштабе планковых величин дискретно? Лично я не стал уходить пока в лишние абстракции. Приготовление системы описывается вещественными числами, а результат измерений всегда дискретный. И точка. Даже если исходов может быть почти бесконечно.

Это работает. Я пробовал.


Но постойте, я обещал, что система будет возвращать информацию, которую в нее заложили при приготовлении? Как же она сможет это сделать, если на вход подано множество вещественных чисел,  а на выходе выбор из N вариантов исходов?

Так и есть, полностью сберечь информацию система не сможет. Но она сможет сделать это настолько хорошо, как только возможно.

Единственный доступный ей способ - передавать информацию вероятностями.

Каждый исход N может наступить с определенной вероятностью. Вероятность - это вещественное число. Значит, каждая вероятность может передавать одну вещественную величину.

Но это опять не совсем так. Сумма вероятностей должна быть равна единице, значит система может передавать только N-1 величин.

Например, для приготовления спина ½ нужно 2 вещественные величины, а 2 возможных исхода смогут передать только одну величину. Одну так одну, решила природа и так и сделала. Вторую величину вы можете померять, если повернете этот же прибор под другим углом.

Если результат эксперимента имеет 3 исхода, тогда этот эксперимент может передать 2 величины. Но при приготовлении системы понадобиться 4 вещественных величины. Соответственно, еще две вы можете получить “повернув” прибор. “Повернув” в кавычках потому, что это уже может быть принципиально другой прибор. Обычным пространственным поворотом можно отделаться только в случае спина ½.

И того, получаем, что при приготовлении системы в нее вкладывается больше вещественных величин, чем способен представить в виде вероятностей прибор.
Если мы будем повторять эксперимент в одинаковых условиях, то исходя из статистики экспериментов мы можем вычислить только половину вещественных величин, используемых при приготовлении системы.

Теперь, вспомним принцип, упомянутый выше, согласно которому при измерении прибор полностью уничтожает информацию, имеющуюся в системе.
Прибор снимает только часть информации, а остальную уничтожает. Прибор другой конструкции снимет другую часть, а остальеное снова уничтожит. Таким образом, некоторые величины никак не могут быть измерены одновременно. Отсюда и получаем принцип неопределенности.


И того, подытожим, что мы имеем. Мы имеем приготовление системы и считывание с нее информации в виде вероятностей различных исходов N. Число N одинаково для любой конструкции прибора. Из системы как бы нельзя получить больше состояний, чем в ней есть.

Если измерить бесконечное число одинаковых систем, то можно получить точное значение передаваемых системам в источнике параметров. Каждая отельная система скрывает в себе всю информацию, полученную в источнике но при измерении отдает только маленькую частицу информации.


Теперь вопрос: если у нас есть прибор, умеющий мерять систему (выбирает состояние из множества исходов N), и есть другие приборы, выбирающие из N по другому, тогда есть ли способ как-то так описать систему и приборы, чтобы можно было предсказать результаты измерений для любого прибора?

Как не странно, такой способ есть. Он называется “вектор состояния”.


Как сказал Сасскинд, математики любят упрощать свои идеи вплоть до полной непостижимости. В учебниках написано, что вектор состояния - это нечто удовлетворяющее определенным аксиомам.

Аксиомы, если на пальцах, сводятся к тому, что вектор состояния - это нечто, что можно суммировать, увеличивать/уменьшать и поворачивать на некий угол.

Кроме того, любые два вектора можно как бы спроецировать друг на друга, получив в результате комплексное число. То-есть, число, которое можно поворачивать на некий угол.

Все это довольно абстрактно. Но под эти аксиомы прекрасно подходит просто некий набор комплексных чисел.

Ходим складывать - складываем каждое число набора с каждым. Хотим умножать на число - умножаем каждый элемент. Хотим поворачивать - поворачиваем как единое целое.

Наконец, операция внутреннего произведения сводится к … захотите, сами прочитаете.

Дальше, идея заключается в том, что при описании приготовленного состояния системы в модули чисел вектора состояния из N чисел можно запихнуть вероятности N исходов. Точнее, каждая вероятность равна квадрату модуля соответствующего числа.


Каждое число в векторе состояния имеет еще и угол (фазу). Зачем нужна фаза?

Фазы несут ту часть информации, которая вложена в систему при приготовлении, но не воспринимается при измерении конкретным прибором. Т.е. не влияет на измерение.


Дальше, если мы возьмем другой прибор, то с точки зрения этого прибора модули чисел в векторе состояния будут другими. И опять не учитываемая этим прибором информация как-то должна быть записана в фазах чисел.


Дальше, оказывается, что существует довольно простой набор математических идей, который позволяет связать воедино все возможные приборы и векторы состояний, предназначенные для описания и измерения выбранного типа систем.


Я не буду описывать детали, т.к. в заголовке на писано “заметки туриста”.


Выглядит все так, как будто бы система описывается вектором состояния, а каждый возможный прибор смотрит на этот вектор в своей “системе координат”. Для того, чтобы узнать вероятности для конкретного прибора, нужно выполнить нечто вроде перевода вектора состояния в “систему координат” прибора.


Тут мне очень полезным показался пример со спином ½. Такая частица - это просто стрелочка в трехмерном пространстве (без длины, только направление).

Вектор состояния хитрым образом вяжется к этой системе: угол стрелочки к оси z (можно привязывать к любой оси) задает соотношение между модулями двух чисел вектора состояния; а разность фаз между числами вектора состояния задает угол к оси x в проекции “стрелочки” на плоскость x-y.

Эксперимент возвращает один из двух исходов с вероятностью, определяемой модулями чисел вектора состояния.


Вектор состояния не описывает систему так, как это принято в классической механике - непосредственно координаты точек в пространстве и другое. По сути, задача вектора только кодировать вероятности для определенного прибора, которым мы собираемся мерять систему и кроме того, включать дополнительные параметры, которые этот прибор не видит, но видят другие приборы аналогичного типа (меряющие ту же часть системы).


Наконец, последняя важный вопрос: раз уж мы описали систему вектором состояния, тогда что происходит с этим вектором состояния пока система изолирована от мира?


В принципе могло бы ничего не происходить. Тогда информация была бы точно доставлена в целости и сохранности.

Если с вектором состояний начнет происходить что-то слишком сложное, информация будет утрачена.

Еще вопрос - обязан ли вектор состояний реагировать на окружающие его условия? Как уже было сказано, система хочет только доставить информацию. Значит вектор мог бы проходить сквозь стены и делать все что угодно.

На самом деле, во время изолированного существования частице позволено не все.


Она ведет некое особое существование, отличное от обычного, когда она подвергается измерению каждый миг. Отличное, но похожее. Так как ее “обычное” поведение - это и есть совокупность последовательности изолированных поведений.


Как оказалось, вектор состояния частицы ведет себя вполне определенным образом: он вращает фазами своих компонентов. Скорость этого вращения зависит от условий, в которых находится изолированная система. Если условия меняются, то меняется и скорость. Так как такое вращение обратимо (похоже, физики предпочитают термин ‘унитарно“), информация переносится без потерь.


Тут как обычно есть нюанс: вращение происходит в какой-то одной “системе координат”. Физики называют эти системы коориднат “базисами”. Базисы привязаны к исходам прибора а не к пространственным координатам.

Т.е. с точки зрения одного из возможных приборов вероятности не меняются (вращаются только недоступные для этого прибора фазы).

В других базисах вероятности меняются (колеблются со временем).


Если для конкретной системы в конкретных условиях  мы нашли как она вращается, мы можем описать это указав базис и скорости вращения каждой фазы. Физики упаковывают это в одну квадратную матрицу и называют ее “Гамильтониан”. Базис записывается как ‘собственные векторы“ матрицы, а скорости вращения - как ‘собственные числа“.

Вы можете вычислить их просто в Вольфрам-математике для начала, чтобы не вникать что это за идеи.


Наконец, энергия системы определяется скоростью вращения фаз вектора состояния.

Если для каждого числа вектора скорость одинаковая - энергия имеет определенное значение. Если разное - тогда значение энергии не определено.


Опять таки, лучше нет системы, чем спин ½. Для этой системы базис - это некое выбранное направление в пространстве.

Вектор состояния - как было сказано - это тоже направление в пространстве.


Во время изолированной эволюции эта система может не вращать вектором состояния (если магнитного поля нет) или вращать стрелочкой спина вокруг направления магнитного поля. Матрица гамильтониана упаковывает в себя направление поля и его интенсивность.


Кроме того, в учебниках описано множество формальных математичеких идей

(наблюдаемая, уравнение шредингера), которые описывают картину строже и точнее.


Если вы уже поняли все выше описанное вы все еще не имеете не малейшего понятия, как применять эту картину с переносом и сдачей информации вектором состояния к простейшим случаям, вроде движения частиц, то вы не одиноки. Для меня это тоже вынос мозга. Вроде бы написанное в учебниках и понятно, но ощущение понимания уже становится каким-то не таким, как хочется. Чего-то не хватает.

Базовые идеи необычны, но, похоже, их применение к реальности требует еще больших усилий. Особенно, если хочется не потерять общую картину теории. Большой вопрос - возможно ли это вообще. Простое освоение математических приемов не особо привлекательно, если мы изучаем КМ из чистого любопытства.


  • 1
не уверен, что такой путь ведёт к пониманию, или даже к иллюзии понимания.

гораздо легче начинать так. вот есть волновая функция Ψ, в которой инкапсулирована информация о системе. функция чего? а чего хотите. может быть функция координат, или импульса, или whatever. чтобы "зафиксировать" волновую функцию, нужно выбрать как сами переменные, так и базис.

как получать информацию о системе (важно! не о волновой функции, а о системе!)? с помощью измерения (тут вообще никакой разницы с классической физикой нет). каждой измеряемой величине соответствует свой оператор, и математически любое измерение записывается как ∫ΨÂΨ*, где Ψ* - просто комплексно сопряжённая.

это выражение справедливо всегда, вне зависимости от того, в каких переменных записано Ψ, и какой у нас базис. выбор переменных и измеряемой величины определяет оператор. например, если Ψ записана в координатах, а измерить мы хотим импульс, то Â = ∇ (набла)

так получилось, случайно, что оператор плотности вероятности в координатном выражении - это identity, Î, т.е. оператор, который не меняет функцию, на которую действует (в матричном представлении - матрица с единицами по диагонали).

то есть получается ∫ΨÎΨ* = ∫ΨΨ* = ∫|Ψ|2

нет никакого глубокого смысла в том, что плотность вероятности - это identity, а другие операторы - не identity. просто так получилось. поэтому когда читаешь везде, что смысл волновой функции в том, что её квадрат - это плотность вероятности, надо всегда мысленно поправлять.

на самом деле смысл волновой функции - в том, что зная её, мы можем вычислить результат любого измерения. ВООБЩЕ ЛЮБОГО. в отличие от плотности вероятности, из которой мало что можно вычислить.

ещё важно понимать, что одному и тому же результату измерения соответствует бесконечное число разных волновых функций. поэтому измерение, или даже любое конечное число их, не может нам дать полного знания о системе, даже если система маленькая и дискретная. в формализме км полное знание - это знание волновой функции, недостижимо. поэтому, кстати, не работают аргументы про детерминизм (если мы полностью знаем волновую функцию, то мы можем...)

Edited at 2015-08-11 07:15 pm (UTC)

> не уверен, что такой путь ведёт к пониманию, или даже к иллюзии понимания.

Одно другому не мешает. Вы рассказываете о том как работает мат. аппарат. На том уровне, на котором вы его описываете я его прекрасно понимаю. Просто решил не утомлять потенциальных любопытствующих сведениями, которые Сасскинд изложил лучше, чем можем это сделать Вы или я.
Но если уж такой разговор, то это еще не все понимание. Интересно хотя бы частично понимать почему используется именно эта математика а не другая. Для этого нужно хоть как-то представлять что именно этом мат. аппарат описывает. А ответ "мат. аппарат такой, потому, что это подтверждено экспериментами" меня не устраивает.

> так получилось, случайно, что оператор плотности вероятности в координатном выражении - это identity

Я думаю, это полезно как обобщение, но в то же время, это излишнее абстрагирование, если речь идет о физике а не о математике.

> нет никакого глубокого смысла в том, что плотность вероятности - это identity, а другие операторы - не identity. просто так получилось.

Ну да. И нет никого глубокого смысла, что время входит в уравнения СТО с минусом, а пространство с плюсом - просто так получилось... Как бы не выплеснуть с водой ребенка.

> в формализме км полное знание - это знание волновой функции, недостижимо. поэтому, кстати, не работают аргументы про детерминизм (если мы полностью знаем волновую функцию, то мы можем...)

Почему недостижимо? Пропускаем фотоны через поляризатор и известным направлением оси. Все мы получаем фотоны, для которых полностью известна волновая функция (та, которая отвечает за поляризацию). Зачем узнавать волновую функцию из результатов экспериментов, если можно это сделать зная конструкцию прибора, который готовит систему?
Кроме того, одинаковые условия всегда приготавливают один и тот же вектор состояния.
Тогда, можно бесконечно повторять приготовление системы и измерять вектор разными приборами. Таким образом, через некоторое время получим полное знание вектора состояния очередной приготовленной системы.

Спасибо, интересно.

//все еще не имеете не малейшего понятия, как применять эту картину с переносом и сдачей информации вектором состояния к простейшим случаям, вроде движения частиц,//

Из вашего рассказа у меня вполне определенная картина сложилась. Но не картина (микро)мира, а картина того, какими познавательными инструментами мы собираемся этот микромир познавать. Такая специфическая методология познания с полным пересмотром матаппарата. И венцом этой картины является волновая функция. А метафизический смысл ее , как я понимаю, в том, что мы не можем узнать про систему все - но лишь с некоторой погрешностью, причем узнать не больше, чем сами вложили в вопрос, т.е. приготовили систему к ответу на наш вопрос.

Мы не можем "спросить" систему: какой у тебя спин? Но можем изменить вопрос и спросить: у тебя спин такой, или сякой? Как бы нулевая гипотеза, которая в эксперименте опровергается, а не доказывается (подтверждается). В итоге, опровергнув исходное предположение, мы делаем выбор в пользу альтернативной гипотезы - но достоверность ее подтверждена лишь с некоторой вероятностью, обусловленной экспериментом (условиями приготовления системы).

Edited at 2015-10-23 12:10 am (UTC)

> является волновая функция

Или подругому - вектор состояния: набор чисел с фазой. Модуль каждого числа определяет вероятность некого исхода эксперимента. Фазы дополняют информацией, позволяющей переходить от одного типа эксперимента к другому (например, прибор повернули).

> А метафизический смысл ее , как я понимаю, в том, что мы не можем узнать про систему все - но лишь с некоторой погрешностью, причем узнать не больше, чем сами вложили в вопрос, т.е. приготовили систему к ответу на наш вопрос.

Мы могли бы получить из системы все, что в нее вложено, если бы имели возможность отматывать время назад и повторять опыт снова и снова. Тогда вложенный в систему параметр X определялся бы вероятностью некого исхода эксперимента.
В реальности мы можем поставить только один эксперимент, после которого система разрушается. Соответственно, мы получаем очень грубую оценку X. Поэтому, мы не можем достать из системы все что она видела при приготовлении. Тем не менее, мы вынуждены считать, что где-то там внутри система помнит X. Иначе она никак не смогла бы демонстрировать правильную вероятность в эксперименте.

Вторым интересным моментом является то, что описание системы вектором состояния подразумевает, что система не имеет какого-то конкретного внутреннего устройства, позволяющего ей где-то там внутри хранить параметры, которые участвовали в ее приготовлении.
Например, если при приготовлении системы использованы два параметра X и Y, то система будет подбирать вероятности исходов в зависимости от этих параметров, что вполне интуитивно понятно. Но можно приготовить физически ту же самую систему (состоящую из таких же частиц и др.), так, что она не будет знать значений X и Y но будет знать что они, скажем в сумме равны некому числу X+Y=A. Тогда опыт по измерению X и Y будет выдавать совершенно случайные результаты, а опыт по измерению X+Y будет передавать значение, участвующее в приготовлении.
Это как ситуация, в которой семья Ивановых скопила 1000 рублей, но вопрос о том, сколько денег у каждого в отдельности не имеет смысла если только они не разведуться.
Т.е. когда система изолируется от мира, память об условиях ее приготовления находится не внутри системы, а в самом мире. Мир помнит, что потерял систему, которая готовилась при таких-то условиях. При возвращении системы в мир та информация, которую она отдает должна соответствовать потере.
Если параметр выдавался двум частицам вместе, вернется тот же параметр в сумме (не не два параметра). Если каждой по отдельности - можно получить два параметра.

Пока пытался объяснить сам почти понял.

Edited at 2015-10-24 11:54 pm (UTC)

  • 1
?

Log in

No account? Create an account