Share Next Entry
Клеточный автомат 37R и законы физики
muha_a

Клеточный автомат 37R и законы физики

В книге Вольфрама “A New Kind of Science” описывается интересное, на мой взгляд, правило 37R одномерного клеточного автомата.
Правило 37R обратимо и, кроме того, это единственное из 128 возможных в описанном классе автоматов правил, которое порождает устойчиво существующие локализованные структуры. В своей книге Вольфрам  приводит этот автомат в качестве примера автомата, в котором возможна самоорганизация и не выполняется клеточное подобие второго закона термодинамики. Утверждается, что для этого автомата не выполняются законы сохранения, и на этом описание этого автомата заканчивается.
Будучи неудовлетворенным таким кратким и спорным описанием, я запрограммировал автомат 37R,  и только начав его исследовать столкнулся с рядом интересных свойств этого автомата, в определенном смысле сходных со свойствами физической вселенной.
В Интернете мне не удалось найти описания или обсуждения этих свойств, поэтому я решил описать свои соображения на случай, если они покажутся кому-то интересными.

При применении правила 37R очередной шаг развития автомата рассчитывается по состояниям двум предыдущих “строк”. Поэтому, исходное состояние автомата в дальнейшем обозначается двумя строками. Например:

00000000000000000010000000000000000000
00000000000000000101000000000000000000


Для тех, кто не читал книгу Вольфрама могу кратко описать автомат 37R.
Описанные в книге одномерные клеточные автоматы работают следующим образом. Вводится исходное состояние автомата - строка единиц и нулей. На основании этой строки по определенному заданному правилу вычисляется вторая строка такой же длины, на основании второй по тому же правилу следующая и так до бесконечности.
Для необратимых автоматов Вольфрам рассматривает правила следующего вида:

111 110 101 100 011 010 001 000
0   0   1   0   0   1   0   1

Здесь в первой строке указаны начальные конфигурации, а во второй - получаемые при применении правила.
Для того, чтобы определить состояние ячейки с номером N в следующей строке, необходимо выбрать в предыдущей строке ячейки N-1, N, N+1, найти в списке правил соответсвующую состояниям ячеек комбинацию нулей и единиц. Ячейка устанавливается в состояние (0 или 1), указанное во второй строке правила.
Если составить из нулей и единиц второй строки правила двоичное число и перевести его в десятичную систему счисления, то получим номер правила.
В примере приведенном выше описано правило с номером 37.
Как видно, всего существует 256 различных правил подобного рода.
Правило называют обратимым, если на основе этого правила всегда возможно выполнить обратный расчет предыстории автомата. Т.е. возможно получить предыдущие состояния автомата на основании известных последующих. Для того, чтобы сделать правило обратимым, на каждом шаге i предлагается дополнительно учитывать состояние ячейки на шаге i-2. Результирующее состояние определяется применением логической операции XOR: новое состояние = состояние согласно правилу XOR состояние ячейки на шаге i-2.
Такое правило Вольфрам обозначает буквой "R".
Например, правило 37R записывается следующим образом:

0   0   0   0   0   0   0   0
111 110 101 100 011 010 001 000
0   0   1   0   0   1   0   1

1   1   1   1   1   1   1   1
111 110 101 100 011 010 001 000
1   1   0   1   1   0   1   0


Пустое пространство-время. Пространство-время 37R, в котором не происходит никаких событий выглядит так:


Фотоны в R37. Если определить фотон как частицу двигающуюся с максимально возможной скоростью и не взаимодействующую с другими фотонами, то в автомате есть некое подобие фотонов. Пример фотонов в пространстве-времени R37 изображен на рисунке:

Фотоны порождаются комбинациями, содержащими последовательности единиц, отделенных друг от друга не менее чем двумя 0-лями в одной строке и не менее чем 3-мя, если единицы расположены в разных строках. Например:

1111100001110000000011001111100
0000000000000001100000000000000

На самом деле, более внимательное рассмотрение показывает, что сквозь любую максимально плотную конфигурацию фотон проходит втрое быстрее, чем через пустое пространство. Значит, его скорость движения в пустом пространстве не является максимально возможной скоростью передачи взаимодействия в автоматах 37R. По имеющейся теории реальным фотонам это не свойственно (однако, не уверен, что кто-то проверял, например, с какой скоростью фотон проходит сквозь протон). Физическте фотоны всегда движутся с одной и той же скоростью. Однако в оправдание 37R можно привести тот факт, что при небольшой плотности “материи” в пространстве 37R эффектом ускорения фотонов можно пренебречь.

Элементарные частицы в 37R. Наиболее распространенным классом устойчивых конфигураций в клеточных автоматах 37R являются полосы, заполненные прямоугольниками:

Полоса может покоиться или  перемещаться с постоянной скоростью. Период повторения рисунка приближенно равен ширине полосы. За каждый период полоса сдвигается на постоянное число клеток. При столкновении полосы отскакивают друг от друга или взаимодействуют с образованием новых полос и фотонов. Закон сохранения импульса в том виде, как он сформулирован в физике, при этом не соблюдается. Похоже, что закон сохранения энергии в некотором особом виде соблюдается, но об этом позже.

Прямоугольники внутри полосы могут быть узкими или отсутствовать совсем:

При наличии особого рода отклонений в структуре полосы она может пульсировать:

Практически любая конфигурация в 37R через некоторое время превращается в множество передвигающихся полос и фотонов. Полосы можно интерпретировать как своего рода элементарные частицы с массой покоя во вселенной автомата 37R.
А 37R образуются и более мелкие частицы, чем полосы. Однако при детальном исследовании видно, что все эти частицы имеют ту же структуру что и полосы, или переплетение нескольких полос, но слишком тонки, чтобы выглядеть как полосы. На чем основано это мое утверждение возможно опишу как нибудь позже.

В 37R постоянно появляются устойчивые конфигурации, состоящие из двух и более сплетенных полос. Большинство таких конфигураций неустойчивы, но попадаются и устойчивые сплетения двух полос с относительно небольшим периодом:

Подобные сплетения полос могут выдерживать воздействие не разрушаясь, и сохраняя устойчивость:

Устойчивые сплетения полос обычно создаются в результате хаотичных сложных взаимодействий нескольких полос и фотонов, но в некоторых особых редких случаях устойчивое сплетение двух полос может образоваться в результате слияния двух полос с излучением фотона:

Нечто подобное мы наблюдаем в химических реакциях: два атома могут соединиться, излучив избыточную энергию в виде фотонов, но в большинстве случаев они просто отскакивают друг от друга.

Обратимость 37R и вселенной. По существующим данным законы физической вселенной в основном обратимы. Во всяком случае, если не учитывать неясные следствия редукции волновой функции в квантовой механике.  Каким образом в обратимой вселенной возможно существование таких устойчивых конфигураций как атомы?
Допустим, протон соединился с электроном и образовал атом. Если бы при образовании атома других событий кроме соединения протона с электроном не происходило, то такое развитие системы было бы необратимым. Действительно, имея только параметры атома невозможно вычислить момент его образования и исходные параметры протона и электрона. В действительности, при образовании атома всегда происходит некий выброс информации в окружающее пространство, например, образование фотонов излучения. Фотоны уносят информацию об исходном состоянии частиц и точке в пространстве-времени, в которой произошло образование атома. Таким образом обеспечивается обратимость события.
Нечто подобное происходит и в автоматах 37R.
Например, на рисунке изображено слияние двух устойчивых конфигураций с  образованием новой более сложной устойчивой конструкции. При этом, часть информации о событии слияния уносится фотоном:

Замечу, что в других возможных вариантах взаимодействия две исходные частицы просто отражаются друг от друга. Поэтому, если бы автомат не был одномерным, и фотоны могли бы безвозвратно уноситься в пространство, то вполне вероятно было бы пронаблюдать нечто вроде химической (ядерной?) реакции, в которой множество пар частиц сливаются в устойчивые конфигурации с выделением фотонов.

В физике принято негласное понимание, что фотон нужен для того, чтобы унести лишнюю энергию и обеспечить соблюдение закона сохранения энергии. В контексте обратимости системы можно сказать, что фотон уносит информацию, необходимую для обеспечения обратимости.
Значит ли это, что для информации тоже можно сформулировать некий закон сохранения и значит ли это, что понятие энергии и информации непосредственно связаны? Пока ответ на эти вопросы неизвестен.

Возбуждение частицы фотоном и излучение фотона. В автоматах 37R очень часто встречаются события, напоминающие возбуждение атома фотоном с переходом в неустойчивое состояние и последующим излучением фотона с возвратом в устойчивое состояние:


Иногда неустойчивое состояние может затягиваться на длительное время, но насколько мне удалось понаблюдать всегда возвращается к некому набору простых устойчивых частиц.

Иногда “возбужденный атом” может распасться на две частицы:


Закон сохранения. Автор автомата 37R Вольфрам отметил, что в этом автомате в отличие от физической вселенной не соблюдаются законы сохранения. Однако по моим наблюдениям в автомате все же действует некий закон сохранения, суть и причины которого мне пока не совсем понятны.
В автоматах 37R в отличие от реальной вселенной (насколько мы ее знаем) могут существовать совершено непроницаемые стены. Такие стены относятся к “садам эдема”, т.е. они никогда не формируются при развитии автомата, но могут быть созданы в исходной конфигурации автомата. Используя две такие стены можно формировать идеально замкнутые системы, размещая между стенами некую исходную конфигурацию.
Проведя серию опытов с замкнутыми системами можно убедиться, что в автомате имеет место некий особый вид закона сохранения, касающийся количества и состояния фотонов и полос, существующих в системе.
Далее приводится пример развития произвольно выбранной замкнутой системы.
Начало развития:

1000100110
0111001101

Здесь наблюдается образование 3-х частиц. Пока трудно сказать сколько в этой системе имеется полос и фотонов. Только средняя представляет собой простейший вариант полосы без прямоугольников внутри.

Через 60 000 шагов наблюдается  2 полосы и 2 фотона:

Примерно через 98 000 шагов после начала развития наблюдается 3 типичные полосы:

Далее полосы взаимодействуют и чем дальше, тем больше расплываются.
Для слившихся полос иногда трудно оценить их количество.
Однако в результате случайного передвижения полосы иногда снова на время разделяются (например, через 17 млн. шагов) и тогда становится видно, что их  количество не изменяется и остается равным 3:

В рассмотренном случае можно говорить о сохранении некого особого вида ресурса, выражаемого в количестве частиц-полос. Число частиц может временно изменяться в процессе развития системы, но это количество изменяется незначительно и затем всегда периодически возвращается к исходному числу полос в системе.
Подобный закон сохранения соблюдается во всех замкнутых конфигурациях 37R, которые я наблюдал.

Некоторые случаи, при которых число частиц на некоторое время изменяется, весьма интересны:

В приведенном на рисунке случае полоса сталкивается с непроницаемой стенкой и прилипает к ней. При этом полоса излучает фотон. Проводя аналогию с физикой можно сказать, что новая частица (фотон) образовалась из кинетической энергии, которую потеряла полоса, прекратив движение.
Если пронаблюдать развитие приведенной замкнутой системы достаточно долго, то можно наблюдать обратный процесс – фотон “оторвет” полосу от стенки и будет поглощен в этом взаимодействии. В итоге в системе снова останется одна полоса.

Все это косвенно указывает, что в 37R вполне может строго соблюдаться близкий аналог физического сохранения энергии.
Чем именно он обусловлен и что в нем строго сохраняется мне пока не понятно.

Большой взрыв в 37R.
Расположим в пустом пространстве небольшую плотную случайную комбинацию клеток:

На первых шагах развития комбинация выглядит хаотично. В картине ее развития не видно ничего похожего на  “частицы”. Через некоторое время в комбинации начинают просматриваться устойчивые конфигурации, существующие короткое время и сложным образом переплетающиеся. Эти конфигурации знакомы по предыдущим исследованиям 37R.
Далее, система превращается в набор стандартных элементов – полос и фотонов. Наиболее быстрые из частиц разлетаются в стороны от центра и бесконечно удаляются (на рисунке в право уходит 6 фотонов, в лево – одна сложная конфигурация). Другие, более медленные полосы остаются близко к центру и долгое время обмениваются взаимодействиями:

При этом периодически система полос излучает фотон или другую частицу, которая улетает в бесконечность. Согласно описанному выше закону сохранения, полос при этом становиться меньше, или прекращается движение одной из полос.
В конечном итоге  в центре остается всего несколько покоящихся полос:

В отличии от реальной вселенной, во вселенной R37 нет гравитации и общей теории относительности, поэтому ничто не мешает одним частицам вечно разлетаться от центра начальной конфигурации, а другим вечно существовать неподвижно относительно друг друга.
Если вселенная 37R бесконечна – то основная часть материи уносится в бесконечность в виде излучения, а некоторая часть “остывает” до абсолютной неподвижности и остается в центре большого взрыва в виде покоящихся полос или более сложных периодичных комбинаций полос.

Большой взрыв в физической вселенной проходит по похожему сценарию – в начале материя существует в некой особой форме, не делимой на элементарные частицы. Затем, когда плотность вещества падает образуется стандартный набор устойчивых элементарных частиц. Излучение уносится в раздувающееся пространство, частицы взаимодействуют и при взаимодействии неминуемо остывают. Если бы пространство достаточно быстро расширялось, то в конечном итоге вся энергия перешла бы в излучение и остывшую до абсолютного нуля материю, как это происходит в 37R.

Неубывание энтропии в замкнутых системах.
Вольфрам считает, что правило 37R является примером несоблюдения второго закона термодинамики, однако мне его доводы кажутся неубедительными.
В качестве примера он приводит картину длительной эволюции замкнутой системы.
В отличии от других автоматов, которые быстро скатываются к совершенно случайным конфигурациям, приведенная в примере система (по мнению Вольфрама) претерпевает флуктуации, то увеличивая то снижая степень хаотичности.
По моему мнению, приведенные в книге рассуждения и ассоциации слишком натянуты и надуманы. Поэтому, я попытаюсь охарактеризовать положение дела с энтропией в 37R независимо от доводов Вольфрама.

Для начала, хотелось бы уточнить принцип, по которому принято оценивать изменение энтропии в физических системах. Оценка энтропии в  некотором роде субъективна. Фактически энтропию оценивают следующим образом. В начальном и конечном состоянии системы выделяются некоторые очевидные закономерности (например, чашка цела, чашка разбита, одно тело теплее, оба тела имеют одинаковую температуру, все молекулы в одной части сосуда, молекулы распределены по всему сосуду и т.д.). Далее, для начального и конечного состояний вычисляется логарифм числа возможных состояний системы. Под возможными состояниями понимаются такие состояния, которые укладываются в рамки выбранных закономерностей. Закон не убывания энтропии фактически сводится к тому факту, что закономерности с меньшим числом возможных состояний никогда не возникают из закономерностей с большим числом состояний.
Субъективизм при определении энтропии заключается в рассмотрении только очевидных для наблюдателя закономерностей. Считается аксиомой, что в системе все случайно, кроме наблюдаемых закономерностей и наблюдатель всеведущ и в состоянии зафиксировать любые признаки возникающей в системе упорядоченности (даже если бы молекулы начали танцевать вальс на счет раз-два-три, то наблюдатель бы об этом знал).

Вернемся еще раз к рисунку с большим взрывом:

Начальная конфигурация автомата представляет собой случайную строку. В ней нет никаких закономерностей, значит ее энтропия примерно равна ее длине.
Достигнутая в нижней части рисунка конфигурация автомата выглядит как набор случайно распределенных в пространстве полос и фотонов. Энтропия здесь определяется числом возможных вариантов расположения в пространстве полос и фотонов. Поскольку полосы занимают больший объем в пространстве, чем исходная конфигурация, то похоже, что энтропия системы по крайней мере не уменьшилась.
Можно ли назвать самоорганизацией образование полос из хаотичной начальной конфигурации? Назвать можно как угодно, но суть от этого не меняется: процесс образования полос не сопровождается снижением энтропии системы или какой-то ее выделенной части.

Пронаблюдав развитие замкнутых систем 37R можно увидеть, что полосы в таких системах совершенно случайно перемещаются, расширяются, сужаются, генерируют и поглощают фотоны. Периодически в результате случайного стечения обстоятельств они выглядят более упорядоченными или менее. Совершенно то же самое произойдет с несколькими молекулами газа в замкнутом сосуде: иногда в результате случайного стечения обстоятельств ненадолго их движение будет казаться упорядоченным, но в основном оно хаотично.
Расположив несколько полос с одной стороны сосуда, мы будем наблюдать их распространение по всему сосуду, но обратный процесс на практике не наблюдается никогда. Точнее, наблюдается только при маловероятном стечении обстоятельств или через невероятно огромное время полного цикла развития обратимой замкнутой системы.
Т.е. и в этом смысле с энтропией в 37R дело обстоит так же как в физических системах: энтропия растет, а самоорганизация не наблюдается в простых случаях.

Возможна ли в 37R самоорганизация отдельных подсистем систем за счет общего повышения энтропии во свей системе? В физической вселенной такая самоорганизация встречается, но возможна ли она в 37R или в других обратимых автоматах мне неясно.

Могут ли быть модели на клеточных автоматах полезными.  Допустим, нам удалось бы найти автомат, в картине развития которого действительно соблюдались бы законы, подобные законам физической вселенной. Чем может быть полезен такой автомат? Сомнительно, что такой автомат удобно было бы использовать вместо традиционных уравнений физики для определения физических параметров моделируемых систем. Однако, во-первых, исследование этого автомата дало бы нам новое качественное наглядное понимание смысла физических законов. Это понимание было хорошей альтернативой существующему в настоящее время пониманию, основанному на туманно интерпретируемых математических образах и идеализированных понятиях материальной точки, поля, пространства.
Во-вторых, законы физики можно было бы переформулировать в терминах информации, что могло бы привести к дальнейшему развитию как теории информации так и физики.
В-третьих, весьма вероятно, что этот автомат позволил бы предсказывать новые физические эффекты, на основании анализа экспериментов с автоматом. Кто знал во времена Галилея, что природа настолько строго подчиняется уравнениям, и их нужно только найти? Точно так же, не попробовав моделировать физику автоматами, мы не можем знать насколько вселенная подобна автомату.
Например, автомат 37R показывает, что в природе могут существовать абсолютно непроницаемые объекты в том случае, если они создаются до момента большого взрыва и до начала действия законов вселенной. И что фотоны могут проходить через очень плотную материю со скоростью несколько большей чем скорость света. Вероятнее всего эти предсказани ложны и являются только особенносьтью свойством автомата 37R, но с другой стороны, 37R всего лишь простейший одномерный автомат, а вселенная как минимум трехмерна.

Могут ли клеточные  автоматы смоделировать всю физику.
Даже простейший одномерный клеточный автомат 37R показывает поведение во многом сходное с поведением физической вселенной.
Однако, у клеточных автоматов есть очевидный недостаток – клетки. В клеточном автомате с двумя и более измерениями, вероятно, невозможно обеспечить равнозначность всех направлений, как в физическом пространстве.
Для того чтобы обеспечить решение этой проблемы Вольфрам предлагает рассматривать другой тип автоматов – автоматы, представляющие собой последовательно изменяющий свою конфигурацию граф.
По моему мнению, поскольку граф все равно должен иметь некую ориентированную регулярную структуру, то обеспечение равнозначности направлений и в этом случае будет затруднительно.
Следующая проблема – специальная теория относительности. Добиться соблюдения соотношений СТО в клеточном автомате не представляет особых проблем, однако соотношения эти будут работать только для определенного узкого класса объектов. Остается непонятным можно ли добиться соблюдения самого принципа относительности СТО для всех явлений, которые происходят в автомате. Здесь возникают проблемы сходные с проблемой равнозначности пространственных направлений: требуется обеспечить одинаковые законы развития систем в движущейся и покоящейся (относительно клетчатого пространства) системе отсчета.
Наконец, самая сложная проблема – квантовая механика. Если воспринимать принципы КМ как они есть, то очевидно, что КМ совершенно не укладывается  в рамки клеточного автомата.

Учитывая все сказанное странно, что автомат 37R все же во многом похож на физическую вселенную. Возможно, что вселенная все же может быть описана автоматом, но для достаточно точного описания нужно нечто большее, что просто обратимый клеточный автомат.

Tags:

  • 1
Да, является. Уравнения - это более общий и более мощный инструмент. Преимущества уравнений - абстрактность. Уравнения позволяют овладеть предметом, не проникая в его суть. Напротив, преимущество моделей клеточных автоматов в том, что все что они демонстрируют совершенно не абстрактно, а потому проще для осознания и выводов.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account